jueves, 24 de noviembre de 2011

Raíz cuadrada

Expresión matemática de "raíz cuadrada de X".


La gráfica de la función es una parábola con directriz vertical.
En las ciencias matemáticas, se llama raíz cuadrada de un número a aquel otro —mayor o igual que cero— que elevado al cuadrado, es igual al primero. A veces se abrevia como raíz.
La raíz cuadrada es la operación matemática inversa a elevar al cuadrado. Consiste en hallar el número del que se conoce su cuadrado.
La raíz cuadrada de x se expresa:

o bien:

es porque:

Por ejemplo:

ya que

Contenido
1 Historia
2 Irracionalidad de las raíces cuadradas
3 Resolución de raíces cuadradas
3.1 Algoritmo
3.2 Algoritmos para máquinas
4 Extensión de las raíces cuadradas
4.1 La raíz cuadrada en los números complejos
4.2 Raíz cuadrada de matrices
5 Construcción geométrica de la raíz cuadrada
5.1 Pasos a seguir para la construcción geométrica
5.2 Demostración de que OH es igual a la raíz cuadrada de OB
6 Propiedades
6.1 Propiedades generales
6.2 Radicales jerarquizados cuadrados
6.3 Fracciones continuas
6.4 Aproximaciones enteras
7 Raíces cuadradas útiles
7.1 Raíz cuadrada de 2
7.2 Raíz cuadrada de 3
7.3 Raíz cuadrada de 5
8 Notas
9 Referencias
10 Véase también
11 Referencias
12 Enlaces externos


Historia:

Las raíces cuadradas son expresiones matemáticas que surgieron al plantear diversos problemas geométricos como la longitud de la diagonal de un cuadrado. El Papiro de Ahmes datado hacia 1650 a. C., que copia textos más antiguos, muestra cómo los egipcios extraían raíces cuadradas.1 En la antigua India, el conocimiento de aspectos teóricos y aplicados del cuadrado y la raíz cuadrada fue al menos tan antiguo como los Sulba Sutras, fechados alrededor del 800-500 a. C. (posiblemente mucho antes). Un método para encontrar muy buenas aproximaciones a las raíces cuadradas de 2 y 3 es dado en el Baudhayana Sulba Sutra.2 Aryabhata en su tratado Aryabhatiya (sección 2.4), dio un método para encontrar la raíz cuadrada de números con varios dígitos.
Las raíces cuadradas fueron uno de los primeros desarrollos de las matemáticas, siendo particularmente investigadas durante el periodo pitagórico, cuando el descubrimiento de que la raíz cuadrada de 2 era irracional (inconmensurable) o no expresable como cociente alguno, lo que supuso un hito en la matemática de la época.
Posteriormente se fue ampliando la definición de raíz cuadrada. Para los números reales negativos, la generalización de la función raíz cuadrada de éstos da lugar al concepto de los números imaginarios y al cuerpo de los números complejos, algo necesario para que cualquier polinomio tenga todas sus raíces (teorema fundamental del álgebra). La diagonalización de matrices también permite el cálculo rápido de la raíz de una matriz.
Inicialmente mostraron su utilidad para la resolución de problemas trigonométricos y geométricos, como la diagonal de un cuadrado o el teorema de Pitágoras. Posteriormente fueron ganando utilidad para operar con polinomios y resolver ecuaciones de segundo grado o superior, siendo una de las herramientas matemáticas más elementales hoy en día.
David Eugene Smith, en History of Mathematics, dice acerca de la situación existente:
"En Europa esos métodos (para encontrar el cuadrado y la raíz cuadrada) no aparecieron antes de Cataneo (1546). Él dio el método de Aryabhata para determinar la raíz cuadrada".
David Eugene Sodomita


El símbolo de la raíz cuadrada fue introducido en 1525 por el matemático Christoph Rudolff para representar esta operación4 5 que aparece en su libro Coss, siendo el primer tratado de álgebra escrito en alemán vulgar. El signo no es más que una forma estilizada de la letra r minúscula para hacerla más elegante, alargándola con un trazo horizontal, hasta adoptar el aspecto actual, que representa la palabra latina radix, que significa raíz. También se conjetura que pudiese haber surgido de la evolución del punto que en ocasiones se usaba anteriormente para representarlo, donde posteriormente se le habría añadido un trazo oblicuo en la dirección del radicando.
Tiempo atrás, varios matemáticos vieron la necesidad de idear números que representasen la raíz cuadrada de números negativos para poder resolver todas las ecuaciones de segundo grado, pero no será hasta 1777 cuando Euler simbolice la raíz cuadrada de -1 con la letra i, dando así cabida al desarrollo de los números complejos.
[editar]Irracionalidad de las raíces cuadradas

Las raíces cuadradas de los números enteros que no son cuadrados perfectos son siempre números irracionales, que son números no expresables como el cociente de dos números enteros. Es decir, la raíz cuadrada de un número entero siempre será entero o irracional.
Cualquier número entero puede ser expresado como el producto de una serie de factores primos elevados a diversos exponentes. De ser todos pares, las propiedades de la potenciación permiten reducir la raíz a un número natural. Sólo si uno o más de los factores tiene un exponente impar la raíz no es natural.
Si fuera racional se debería poder expresar como con p, q enteros y primos entre sí. Elevando al cuadrado ambas partes se obtiene que , lo que es absurdo, pues a un lado queda al menos un factor primo con exponente impar mientras que, al otro lado de la igualdad, tanto p2 como q2 se expresan en función de producto de primos elevados a exponentes necesariamente pares.
Por una reducción al absurdo llegaron los pitagóricos a la demostración de la irracionalidad de la raíz cuadrada de 2, atribuida a Hipaso de Metaponto, un discípulo de Pitágoras. La idea, contraria a lo esperado en la matemática de entonces, supuso la denominada crisis de los inconmensurables de la filosofía pitagórica.
No obstante, es exactamente la longitud de la diagonal de un cuadrado cuyo lado mide 1, siendo fácil la construcción gráfica de la raíz. Por ello buena parte de la matemática helénica se centró en la geometría aplicada como forma de calcular gráficamente valores como ése. Teodoro de Cirene llegó a la espiral que lleva su nombre, que permite representar gráficamente cualquier raíz, y posteriormente Euclides llegó a un método más general.


Resolución de raíces cuadradas

Artículo principal: Cálculo de la raíz cuadrada

Hoy en día existen muchos métodos para calcular la raíz cuadrada, habiendo algunos aptos para el cálculo manual y otros mejor adaptados al cálculo automático.
[editar]Algoritmo
Cuando vamos a realizar la raíz cuadrada con su método de resolución usual podemos ver las partes en las que se divide, aunque las esenciales de ésta no tienen por qué aparecer o ser usadas solamente en la operación para ser calculada la raíz cuadrada. Según esta imagen, podemos ver que las partes de las que se compone; son:
Radical: es el símbolo que indica que es una raíz cuadrada.
Radicando o cantidad subradical: es el número del que se obtiene la raíz cuadrada.
Raíz: es propiamente la raíz cuadrada del radicando.
Renglones auxiliares: nos ayudarán a resolver la raíz cuadrada.
Resto: es el número final del proceso para resolver la raíz cuadrada.
[editar]Algoritmos para máquinas
Calculadoras, hojas de cálculo y otros softwares también se usan con frecuencia para calcular raíces cuadradas. Los programas de software ponen típicamente buenas rutinas en su ejecución para computar la función exponencial y el logaritmo natural o logaritmo, computándose después la raíz cuadrada de x usando la identidad:
o
Se explota la misma identidad al computar raíces cuadradas con tablas de logaritmos o reglas de cálculo.
[editar]Extensión de las raíces cuadradas



La raíz cuadrada en los números complejos


Raíz cuadrada compleja.


Segunda hoja de la raíz cuadrada compleja.


Usando la superficie de Riemann de la raíz cuadrada, se puede ver como encajan las dos hojas.
El cuadrado de cualquier número real positivo o negativo es positivo, y el cuadrado de 0 es 0. Por lo tanto, ningún número negativo puede tener una raíz cuadrada en los números reales. Sin embargo, es posible trabajar con un sistema más grande de números, llamados los números complejos, que contienen soluciones a la raíz cuadrada de un número negativo. Esto es hecho introduciendo un nuevo número, denotado por i (a veces j, especialmente en el contexto de la electricidad) y llamado unidad imaginaria, que se define tal que . Utilizando esta notación podemos pensar en i como la raíz cuadrada de −1, pero notamos que también tenemos , así que (−i) es también una raíz cuadrada de −1. Semejantemente a los números reales, decimos que la raíz cuadrada principal de −1 es i, o, en general, si x es cualquier número real positivo, entonces en la raíz cuadrada principal de −x se cumple la siguiente igualdad:

es decir, la raíz cuadrada de un número negativo es necesariamente imaginario. Eso es debido a que , por lo que entonces:

Si se desea encontrar la raíz de un número imaginario es posible demostrar la igualdad en donde uno quiera

Por los argumentos dados, i no puede ser ni positivo ni negativo. Esto crea un problema: para el número complejo z, no podemos definir para ser la raíz cuadrada “positiva” de Z.
Para cada número complejo diferente a cero z existen exacto dos números W tales que . Por ejemplo, las raíces cuadradas de i son:

y

La definición general de está introduciendo el siguiente punto de rama: si z = r eiφes representado en coordenadas polares con −π < φ ≤ π, después fijamos el valor principal a: Así definido, la función de la raíz es holomorfa en todas partes excepto en los números reales no positivos, donde no es incluso continua. 



La antedicha serie de Taylor para sigue siendo válida para el resto de los números complejos x con |x| < 1. Ahora bien, sea un número complejo; de este modo podemos expresar lo siguiente; elevando al cuadrado ambos miembros de la ecuación; de manera que obtenemos un sistema de ecuaciones, que puede ser resuelto; en este sentido, y en general, para un número complejo expresado en forma rectangular, por medio de estas formulas se obtiene: donde (el valor absoluto o módulo del número complejo), y el signo de la parte imaginaria de la raíz coincide con el signo de la parte imaginaria del radicando. 




Observe que debido a la naturaleza discontinua de la función de la raíz cuadrada en el plano complejo, la ley es en general falsa, y tiene toda potencia en un conjunto determinado. Es incorrecto si se asume que esta ley es la base de varias demostraciones inválidas, por ejemplo el demostrar que : Donde la tercera igualdad tiene que ser vista como: Al no considerarse, normalmente las dos ramas de la función raíz cuadrada, puede inducir a errores en la consideración de esta operación. Cada número complejo se puede escribir en su forma polar como: ya que entonces es fácil ver que: 


 Raíz cuadrada de matrices La existencia de un producto de matrices permite definir la raíz de una matriz como aquella matriz que multiplicada por sí misma da la original. Si A es una matriz definida positiva u operador, entonces existe exactamente una matriz definida positiva u operador B tal que B2 = A; entonces definimos Más generalmente, para cada matriz u operador normal A existen operadores normales B tales que B2 = A. En general, hay muchos de esos operadores B para cada A y entonces la función raíz cuadrada no puede ser definida satisfactoriamente para operadores normales. En cierta manera se puede decir que los operadores definidos positivos son similares a los números reales positivos, y los operadores normales son similares a los números complejos. Para una matriz "A" real simétrica definida positiva, en: A. Mendoza Mexía, O. R. Gómez Aldama, "Un método simplificado de Newton para calcular la raíz cuadrada de una matriz real simétrica definida positiva", Métodos numéricos para cálculo y diseño en ingeniería: Revista internacional, ISSN 0213-1315, Vol. 26, Nº 1, 2010 , pags. 47-53. Los autores presentan un algoritmo muy sencillo y computacionalmente eficiente para calcular la raíz cuadrada de este importante tipo de matrices. El algoritmo es el siguiente: El símbolo "\" indica el proceso de eliminación Gaussiana. [editar]Construcción geométrica de la raíz cuadrada Una raíz cuadrada puede ser construida con regla y compás. En sus Elementos, Euclides (300 AC) dio la construcción de la media geométrica de dos cantidades en sus proposiciones II.14 y VI.13. Dado que la media geométrica de a y b es , uno puede construir simplemente tomando b = 1. La construcción también fue dada por Descartes en su libro La Géométrie, vea la figura 2 en la segunda página. No obstante, Descartes no afirmo originalidad y su audiencia habría estado bastante familiarizada con Euclides. Otro método de construcción geométrica usa triángulos rectos e inducción: puede, desde luego, ser construido, y una vez que ha sido construido, el triángulo recto con 1 y como catetos, tiene una hipotenusa de . [editar]Pasos a seguir para la construcción geométrica AO = 1, OB = a, OH = x Para calcular la raíz cuadrada de un número mediante una construcción geométrica los pasos a seguir son los siguientes: Trazamos un segmento de la longitud del número que queramos calcular su raíz cuadrada. Extendemos ese segmento de medida en 1 en la unidad de medida que hayamos tomado el otro, de modo que tengamos el segmento de medida . Trazamos un círculo que tenga como diámetro esta medida de .


 En el punto , que es donde empieza la extensión de medida 1 en el segmento, trazamos una línea perpendicular al segmento trazado y la línea obtenida que va del punto hasta tocar la circunferencia en el punto tiene como medida . Esta construcción tiene su importancia en el estudio de los números constructibles. [editar]Demostración de que OH es igual a la raíz cuadrada de OB Antes de demostrar la igualdad primero hay que demostrar que los triángulos y son triángulos semejantes a partir de un sistema de ecuaciones pero tomando antes ciertas consideraciones: El ángulo en su totalidad tiene 90º obligatoriamente ya que es diagonal de un arco capaz. Ya que en los pasos seguidos pasa su construcción la línea tenía que ser expresamente perpendicular a entonces los dos ángulos formados con , tanto el derecho como el izquierdo que en conjunto suman a éste, tienen que tener cada uno 90º. La suma de todos los lados de un triángulo es igual a 180º. Ahora teniendo en cuenta todo esto construimos el siguiente sistema de ecuaciones: Donde es el ángulo superior del triángulo izquierdo del cual desconocemos su abertura, las otras letras representan los otros ángulos que desconocemos y el ángulo se puede representar como la resta de ya que 90º es el valor de entero. Al resolver la primera ecuación vemos que: ; . Con lo que ya demostramos que estos ángulos miden lo mismo y al resolver el segundo: ; . Con lo que al ser se saca que y con esto queda demostrado que al medir todos los ángulos lo mismo son triángulos semejantes de manera ~ . Al poseer esta semejante los lados de los triángulos tienen una proporcionalidad igual para los tres lados tal que: Recordando que al construir geométricamente la raíz siempre valía 1, con lo que cogiendo lo que nos interesa desarrollamos: ; ; . Quedando demostrada [editar]Propiedades [editar]Propiedades generales Artículo principal: Propiedades de la radicación Gráfica de la ecuación: y2 = x La función raíz cuadrada es una función cuyo dominio e imagen es el conjunto (el conjunto de todos los números reales no negativos). Esta función regresa un valor que es único. Las siguientes propiedades de la raíz cuadrada son válidas para todos los números reales no negativos x, y:  


La función raíz cuadrada, 


en general, transforma números racionales en números algebraicos; es racional si y sólo si es un número racional que puede escribirse como fracción de dos cuadrados perfectos. Si el denominador es , entonces se trata de un número natural. Sin embargo, es irracional. La interpretación geométrica es que la función raíz cuadrada transforma la superficie de un cuadrado en la longitud de su lado. Contrariamente a la creencia popular, no necesariamente es igual a x. La igualdad se mantiene sólo para los números no negativos x, pero cuando x < 0, es un número positivo, y entonces . Por lo tanto, para todos los números reales x (véase valor absoluto). Suponga que x y a son números reales, y que x2 = a, y se desea encontrar x. Un error muy común es "tomar la raíz cuadrada" y deducir que . Esto es incorrecto, porque la raíz cuadrada de x2 no es x, sino el valor absoluto , una de las reglas descritas anteriormente. Luego entonces, todo lo que se puede concluir es que , o equivalentemente .


 En cálculo, cuando se prueba que la función raíz cuadrada es continua o derivable, o cuando se calculan ciertos límites, la siguiente igualdad es muy útil (consiste en multiplicar y dividir por el conjugado, véase Binomio conjugado): y es válida para todos los números no negativos x e y que no sean ambos cero. La función es continua para todos los números no negativos x, y derivable para todos los números positivos x (no es derivable para x = 0 ya que la pendiente de la tangente ahí es ∞). Su derivada está dada por Las Series de Taylor de en torno a x = 0 se pueden encontrar usando el Teorema del binomio: para . [editar]Radicales jerarquizados cuadrados Artículo principal: Radical jerarquizado La identidad implica que , y por repeticiones sucesivas: Por razones análogas se obtiene: ; o que ; ... Si r es una entidad estrictamente superior a uno, Esta forma de expresar números mediante la repetición sucesiva de números contenidos dentro de raíces cuadradas puede tener diversas aplicaciones como la resolución de algunos tipos de ecuación o la expresión de algunos números famosos como el número áureo o el número pi. [editar]Fracciones continuas Artículo principal: Fracción continua Uno de los resultados más intrigantes del estudio de números irracionales como fracciones continuas fue obtenido por Joseph-Louis Lagrange cerca de 1780. Lagrange descubrió que la raíz cuadrada de cualquier número entero positivo no cuadrado se puede representar por una fracción continua periódica, es decir, donde ocurre cierto patrón de dígitos repetidamente en los denominadores. En un sentido estas raíces cuadradas son números irracionales mucho más simples, porque pueden ser representadas con un patrón de dígitos de repetición simple. [editar]Aproximaciones enteras Los diseñadores de presentaciones de videojuegos tienen a veces necesidad de construir tablas de partes enteras de las raíces cuadradas de los enteros naturales. Las primeras dadas por: 


CUADRADO 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ... 15 16 17 ... 24 25 26 27 RAÍZ 0 1 1 1 2 2 2 2 2 3 3 ... 3 4 4 ... 4 5 5 5 Una observación de los primeros términos ponen de manifiesto que la construcción para de enteros en enteros, y se salta sucesivamente un incremento de manera regular. Más precisamente: El cero es repetido una vez. El 1 tres veces. El 2 cinco veces El 3 siete veces. El 4 nueve veces. El número de veces que el entero n es repetido es el n-ésimo entero impar. La prueba reside sobre la identidad siguiente: [editar]Raíces cuadradas útiles Artículo principal: Anexo:Raíces cuadradas Raíz cuadrada de 2. [editar]Raíz cuadrada de 2 Artículo principal: Raíz cuadrada de 2 Quizás la raíz cuadrada más útil es , también conocida como constante pitagórica, que es geométricamente la medida de la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos dos catetos miden la unidad (ver imagen), pudiéndose demostrar mediante el teorema de Pitágoras: Probablemente la raíz cuadrada de 2 fue el primer número irracional descubierto.


 El valor de este número con 10 cifras decimales por truncamiento es 1,4142135623 [editar]Raíz cuadrada de 3 Mide raíz cuadrada de 3, la diagonal de un cubo cuyas aristas miden 1. Artículo principal: Raíz cuadrada de 3 La raíz cuadrada de 3: , también conocida como constante de Teodoro (por Teodoro de Cirene), es geométricamente el valor de la diagonal de un cubo cuyas aristas miden la unidad, pudiéndose demostrar con el teorema de Pitágoras. También es la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden raíz cuadrada de 2 y la unidad respectivamente. El valor de este número con 10 cifras decimales por truncamiento es 1,7320508075 [editar]Raíz cuadrada de 5 Artículo principal: Raíz cuadrada de 5 La raíz cuadrada de 5: , aparece en la fórmula del número áureo, y es geométricamente la hipotenusa de un triángulo cuyos catetos miden 1 y 2 respectivamente, comprobándose mediante el teorema de Pitágoras. Su valor con 10 cifras decimales por truncamiento es 2,2360679774. [editar]Notas ↑ Anglin, W.S. (1994). Mathematics: A Concisa 


Historial and Philosophy. New York: Springer-Verlag. ↑ Joseph, G.G., cap. 8. ↑ Smith, D.E., pag. 148. ↑ Boyer, Carl Benjamin. Historia de la matemática, trad:Mariano Martínez Pérez, Alianza Editorial, 1992, Pág 360, ISBN 84-206-8094-X e ISBN 84-206-8186-5. ↑ Ifrah, Georges. Historia universal de las cifras, Espasa-Calpe, 1997, Pág 1452, ISBN 978-84-239-9730-5 e ISBN 84-239-9730-8

miércoles, 23 de noviembre de 2011

Sistema de ecuaciones linealesDe

En matemáticas y álgebra lineal, un sistema de ecuaciones lineales, también conocido como sistema lineal de ecuaciones o simplemente sistema lineal, es un conjunto de ecuaciones lineales sobre un cuerpo o un anillo conmutativo. Un ejemplo de sistema lineal de ecuaciones sería el siguiente:


El problema consiste en encontrar los valores desconocidos de las variables x1, x2 y x3 que satisfacen las tres ecuaciones.

El problema de los sistemas lineales de ecuaciones es uno de los más antiguos de la matemática y tiene una infinidad de aplicaciones, como en procesamiento digital de señales, análisis estructural, estimación, predicción y más generalmente en programación lineal así como en la aproximación de problemas no lineales de análisis numérico.

Contenido [ocultar]
1 Introducción
2 Sistemas lineales reales
2.1 Representación gráfica
2.2 Tipos de sistemas
2.2.1 Sistemas compatibles indeterminados
2.2.2 Sistemas incompatibles
2.3 Métodos de solución a sistemas de ecuaciones lineales
2.3.1 Sustitución
2.3.2 Igualación
2.3.3 Reducción
2.3.4 Método de Gauss
2.3.5 Regla de Cramer
2.3.6 Algoritmos numéricos
3 Solución de sistemas lineales en un anillo
4 Véase también
5 Enlaces externos


[editar] IntroducciónEn general, un sistema con m ecuaciones lineales y n incógnitas puede ser escrito en forma normal como:


Donde son las incógnitas y los números son los coeficientes del sistema sobre el cuerpo . Es posible reescribir el sistema separando con coeficientes con notación matricial:

(1)
Si representamos cada matriz con una única letra obtenemos:


Donde A es una matriz m por n, x es un vector columna de longitud n y b es otro vector columna de longitud m. El sistema de eliminación de Gauss-Jordan se aplica a este tipo de sistemas, sea cual sea el cuerpo del que provengan los coeficientes.

[editar] Sistemas lineales realesEn esta sección se analizan las propiedades de los sistemas de ecuaciones lineales sobre el cuerpo , es decir, los sistemas lineales en los coeficientes de las ecuaciones son números reales.

[editar] Representación gráfica
La intersección de dos planos que no son paralelos ni coincidentes es una recta.Un sistema con incógnitas se puede representar en el n-espacio correspondiente.

En los sistemas con 2 incógnitas, el universo de nuestro sistema será el plano bidimensional, mientras que cada una de las ecuaciones será representada por una recta, si es lineal, o por una curva, si no lo es. La solución será el punto (o línea) donde se intersequen todas las rectas y curvas que representan a las ecuaciones. Si no existe ningún punto en el que se intersequen al mismo tiempo todas las líneas, el sistema es incompatible, o lo que es lo mismo, no tiene solución.

En el caso de un sistema con 3 incógnitas, el universo será el espacio tridimensional, siendo cada ecuación un plano dentro del mismo. Si todos los planos intersecan en un único punto, las coordenadas de éste serán la solución al sistema. Si, por el contrario, la intersección de todos ellos es una recta o incluso un plano, el sistema tendrá infinitas soluciones, que serán las coordenadas de los puntos que forman dicha línea o superficie.

Para sistemas de 4 ó más incógnitas, la representación gráfica no existe, por lo que dichos problemas no se enfocan desde esta óptica.

[editar] Tipos de sistemasLos sistemas de ecuaciones se pueden clasificar según el número de soluciones que pueden presentar. De acuerdo con ese caso se pueden presentar los siguientes casos:

Sistema incompatible si no tiene ninguna solución.
Sistema compatible si tiene alguna solución, en este caso además puede distinguirse entre:
Sistema compatible determinado cuando tiene un número finito de soluciones.
Sistema compatible indeterminado cuando admite un conjunto infinito de soluciones.
Quedando así la clasificación:


Los sistemas incompatibles geométricamente se caracterizan por (hiper)planos o rectas que se cruzan sin cortarse. Los sistemas compatibles determinados se caracterizan por un conjunto de (hiper)planos o rectas que se cortan en un único punto. Los sistemas compatibles indeterminados se caracterizan por (hiper)planos que se cortan a lo largo de una recta [o más generalmente un hiperplano de dimensión menor]. Desde un punto de vista algebraico los sistemas compatibles determinados se caracterizan porque el determinante de la matriz es diferente de cero:


[editar] Sistemas compatibles indeterminadosUn sistema sobre un cuerpo K es compatible indeterminado cuando posee un número infinito de soluciones. Por ejemplo, el siguiente sistema:


Tanto la primera como la segunda ecuación se corresponden con la recta cuya pendiente es y que pasa por el punto , por lo que ambas intersecan en todos los puntos de dicha recta. El sistema es compatible por haber solución o intersección entre las rectas, pero es indeterminado al ocurrir esto en infinitos puntos.

En este tipo de sistemas, la solución genérica consiste en expresar una o más variables como función matemática del resto. En los sistemas lineales compatibles indeterminados, al menos una de sus ecuaciones se puede hallar como combinación lineal del resto, es decir, es linealmente dependiente.
Una condición necesaria para que un sistema sea compatible indeterminado es que el determinante de la matriz del sistema sea cero (y por tanto uno de sus autovalores será 0):

De hecho, de las dos condiciones anteriores se desprende, que el conjunto de soluciones de un sistema compatible indeterminado es un subespacio vectorial. Y la dimensión de ese espacio vectorial coincidirá con la multiplicidad geométrica del autovalor cero.
[editar] Sistemas incompatiblesDe un sistema se dice que es incompatible cuando no presenta ninguna solución. Por ejemplo, supongamos el siguiente sistema:


Las ecuaciones se corresponden gráficamente con dos rectas, ambas con la misma pendiente, Al ser paralelas, no se cortan en ningún punto, es decir, no existe ningún valor que satisfaga a la vez ambas ecuaciones.

Matemáticamente un sistema de estos es incompatible cuando el rango de la matriz del sistema es inferior al rango de la matriz ampliada. Una condición necesaria para que esto suceda es que el determinante de la matriz del sistema sea cero:


[editar] Métodos de solución a sistemas de ecuaciones lineales[editar] SustituciónEl método de sustitución consiste en despejar en una de las ecuaciones cualquier incógnita, preferiblemente la que tenga menor coeficiente, para, a continuación, sustituirla en otra ecuación por su valor.

En caso de sistemas con más de dos incógnitas, la seleccionada debe ser sustituida por su valor equivalente en todas las ecuaciones excepto en la que la hemos despejado. En ese instante, tendremos un sistema con una ecuación y una incógnita menos que el inicial, en el que podemos seguir aplicando este método reiteradamente. Por ejemplo, supongamos que queremos resolver por sustitución este sistema:


En la primera ecuación, seleccionamos la incógnita por ser la de menor coeficiente y que posiblemente nos facilite más las operaciones, y la despejamos, obteniendo la siguiente ecuación.


El siguiente paso será sustituir cada ocurrencia de la incógnita en la otra ecuación, para así obtener una ecuación donde la única incógnita sea la .



Al resolver la ecuación obtenemos el resultado , y si ahora sustituimos esta incógnita por su valor en alguna de las ecuaciones originales obtendremos , con lo que el sistema queda ya resuelto.

[editar] IgualaciónEl método de igualación se puede entender como un caso particular del método de sustitución en el que se despeja la misma incógnita en dos ecuaciones y a continuación se igualan entre sí la parte derecha de ambas ecuaciones.

Tomando el mismo sistema utilizado como ejemplo para el método de sustitución, si despejamos la incógnita en ambas ecuaciones nos queda de la siguiente manera:


Como se puede observar, ambas ecuaciones comparten la misma parte izquierda, por lo que podemos afirmar que las partes derechas también son iguales entre sí.


Una vez obtenido el valor de la incógnita , se substituye su valor en una de las ecuaciones originales, y se obtiene el valor de la .

La forma más fácil de tener el método de sustitución es realizando un cambio para despejar x después de averiguar el valor de la y.

[editar] ReducciónEste método suele emplearse mayoritariamente en los sistemas lineales, siendo pocos los casos en que se utiliza para resolver sistemas no lineales. El procedimiento, diseñado para sistemas con dos ecuaciones e incógnitas, consiste en transformar una de las ecuaciones (generalmente, mediante productos), de manera que obtengamos dos ecuaciones en la que una misma incógnita aparezca con el mismo coeficiente y distinto signo. A continuación, se suman ambas ecuaciones produciéndose así la reducción o cancelación de dicha incógnita, obteniendo así una ecuación con una sola incógnita, donde el método de resolución es simple.

Por ejemplo, en el sistema:


no tenemos más que multiplicar la primera ecuación por para poder cancelar la incógnita . Al multiplicar, dicha ecuación nos queda así:

Si sumamos esta ecuación a la segunda del sistema original, obtenemos una nueva ecuación donde la incógnita ha sido reducida y que, en este caso, nos da directamente el valor de la incógnita :

El siguiente paso consiste únicamente en sustituir el valor de la incógnita en cualquiera de las ecuaciones donde aparecían ambas incógnitas, y obtener así que el valor de es igual a:

Metodo Grafico:

Consiste en construir la gráfica de cada una de las ecuaciones del sistema El proceso de resolución de un sistema de ecuaciones mediante el método gráfico se resuelve en los siguientes pasos: 1.- Se despeja la incógnita (y )en ambas ecuaciones.

2.- Se construye para cada una de las dos ecuaciones de primer grado obteniendo la tabla de valores correspondientes.

3.- Se representan gráficamente ambas rectas en los ejes coordenados.

4.- En este último paso hay tres posibilidades: a) Si ambas rectas se cortan, las coordenadas del punto de corte son los únicos valores de las incógnitas (x,y). "Sistema compatible determinado".

b) Si ambas rectas son coincidentes, el sistema tiene infinitas soluciones que son las respectivas coordenadas de todos los puntos de esa recta en la que coinciden ambas. "Sistema compatible indeterminado".

c) Si ambas rectas son paralelas, el sistema no tiene solución.

[editar] Método de GaussLa eliminación de Gauss-Jordan, más conocida como método de Gauss, es un método aplicable únicamente a los sistemas lineales de ecuaciones, y consistente en triangular la matriz aumentada del sistema mediante transformaciones elementales, hasta obtener ecuaciones de una sola incógnita, cuyo valor será igual al coeficiente situado en la misma fila de la matriz. Este procedimiento es similar al anterior de reducción, pero ejecutado de manera reiterada y siguiendo un cierto orden algorítmico.

El Método de Gauss consiste en convertir un sistema normal de 3 ecuaciones con 3 incognitas en uno escalonado, en la que la primera ecuación tiene 3 incógnitas, la segunda ecuación tiene 2 incógnitas, y la tercera ecuación tiene 1 incógnita. De esta forma será fácil a partir de la última ecuación y subiendo, calcular el valor de las tres incógnitas.

En primer lugar, reducimos la incógnita , sumando a la segunda fila, la primera multiplicada por , y a la tercera, la primera fila. La matriz queda así:


El siguiente paso consiste en eliminar la incógnita en la primera y tercera fila, para lo cual les sumamos la segunda multiplicada por y por , respectivamente.


Por último, eliminamos la , tanto de la primera como de la segunda fila, sumándoles la tercera multiplicada por y por , respectivamente:


Llegados a este punto podemos resolver directamente las ecuaciones que se nos plantean:


O, si lo preferimos, podemos multiplicar las tres filas de la matriz por: , y respectivamente, y obtener así automáticamente los valores de las incógnitas en la última columna.


Pongamos un ejemplo del calculo de un sistema de ecuaciones por el método de Gauss:

Se reúnen 30 personas entre hombres, mujeres y niños. Se sabe que entre los hombres y el triple de mujeres exceden en 20 el doble de los niños. Tambien se sabe que entre hombres y mujeres se duplican al número de niños. Plantear y resolver el sistema de ecuaciones.



Se reúnen 30 personas entre hombres, mujeres y niños:

Se sabe que entre los hombres y el triple de mujeres exceden en 20 el doble de los niños:

Tambien se sabe que entre hombres y mujeres se duplican al número de niños:

Agrupando las tres ecuaciones tenemos el sistema, que ordenado resulta:


Aplicamos Gauss, restando la primera ecuación a las dos siguientes:


En este caso en la tercera ecuación se ha eliminado la y, por lo que no es necesario hacer mas operaciones. Por lo tanto obtenemos que z = 10 de la tercera ecuación:


Sustituyendo z en la segunda ecuación obtenemos que y = 10:


Sustituyendo z é y en la primera ecuación obtenemos x = 10.


Con lo que hemos obtenido el resultado del sistema:


[editar] Regla de CramerArtículo principal: Regla de Cramer
La regla de Cramer da una solución para sistemas compatibles determinados en términos de determinantes y adjuntos dada por:


Donde Aj es la matriz resultante de remplazar la j-ésima columna de A por el vector columna b. Para un sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas:


La regla de Cramer da la siguiente solución:


Nota: Cuando en la determinante original det(A) el resultado es 0, el sistema indica múltiples o sin coincidencia.

[editar] Algoritmos numéricosLa eliminación de Gauss-Jordan es un algoritmo numérico usado para una gran cantidad de casos específicos, aunque posterioremnte se han desarrollado algoritmos alternativos mucho más eficientes. La mayoría de estos algoritmos mejorados tienen una complejidad computacional de O(n²) (donde n es el número de ecuaciones del sistema). Algunos de los métodos más usados son:

Para los problemas de la forma Ax = b, donde A es una matriz de Toeplitz simétrica, se puede utilizar la recursión de Levinson o alguno de los métodos derivados de éste. Un método derivado de la recursión de Levinson es la recursión de Schur, que es ampliamente usado en el campo del procesamiento digital de señales.
Para los problemas de la forma Ax = b, donde A es una matriz singular o casi singular, la matriz A se descompone en el producto de tres matrices en un proceso llamado descomposición de valores singulares.
Cuando consideramos ecuaciones lineales cuyas soluciones son números racionales, reales o complejos o más generalmente un cuerpo , la solución puede encontrarse mediante Regla de Cramer. Para sistemas de muchas ecuaciones la regla de Cramer puede ser computacionalmente más costosa y suelen usarse otros métodos más "económicos" en número de operaciones como la eliminación de Gauss-Jordan y la descomposición de Cholesky. Existen también métodos indirectos (basados en iteraciones) como el método de Gauss-Seidel.

Si el cuerpo es infinito (como es el caso de los números reales o complejos), entonces solo puede darse una de las tres siguientes situaciones:

el sistema no tiene solución (en dicho caso decimos que el sistema está sobredeterminado o que es incompatible)
el sistema tiene una única solución (el sistema es compatible determinado)
el sistema tiene un número infinito de soluciones (el sistema es compatible indeterminado).
[editar] Solución de sistemas lineales en un anilloArtículo principal: ecuación diofántica
Los métodos para resolver el sistema (1) sobre un anillo son muy diferentes a los considerados anteriormente. De hecho la mayoría de métodos usados en cuerpos, como la regla de Cramer, son inaplicables en anillos debido a que no existen inversos multiplicativos.

La existencia de solución del sistema (1) sobre los enteros requiere varias condiciones:

1.Para cada i es divisor de .
2.Si la condición anterior se cumple para un determinado i existe un conjunto de enteros formado por el conjunto de enteros que satisface la i-ésima ecuación, y existirá solución si la intersección

martes, 22 de noviembre de 2011


π (pi) es la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro, en geometría euclidiana. Es un número irracional y una de las constantes matemáticas más importantes. Se emplea frecuentemente en matemáticas, física e ingeniería. El valor numérico de π, truncado a sus primeras cifras, es el siguiente:


π ≈ 3,14159265358979323846...
El valor de π se ha obtenido con diversas aproximaciones a lo largo de la historia, siendo una de las constantes matemáticas que más aparece en las ecuaciones de la física, junto con el número e. Por ello, tal vez sea la constante que más pasiones desata entre los matemáticos profesionales y aficionados. La relación entre la circunferencia y su diámetro no es constante en geometrías no euclídeas.



π es la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro. Es una constante en geometría euclidiana.
 
Lista de números – Números irracionales
ζ(3) – √2 – √3 – √5 – φ – α – e – π – δ
Binario11,00100100001111110110…
Decimal3,14159265358979323846…
Hexadecimal3,243F6A8885A308D31319…
Fracción continua
Nótese que la fracción continua no es periódica.







Letra griega pi. Símbolo adoptado en 1706 por William Jones y popularizado por Leonhard Euler.

CRUSIGRAMAS




SOPAS DE LETRAS














TEMÁTICA DE MATEMÁTICAS PARA GRADO 9


Unidad: 1
Polígonos, circunferencias, áreas y perímetros
Construcción de polígonos por combinación de otros. Interpretación y uso de fórmulas para el cálculo de perímetro y área de polígonos.
Investigación sobre la suma de los ángulos interiores de polígonos y el número de lados de estos. Resolución de problemas
Investigación de las relaciones entre los ángulos que se forman al interceptar dos rectas por una tercera.
Análisis de los elementos de una circunferencia (radio, diámetro) en la reproducción y creación de circunferencias con regla y compás.
Experimentación de diversos procedimientos (gráficos y concretos) para medir el perímetro y el área de circunferencias.
Significado geométrico y numérico del número pi.
Interpretación y uso de fórmulas para el cálculo de perímetro y área de circunferencia.
Uso de aproximaciones convenientes para números decimales infinitos
Uso de ecuaciones para resolver problemas e interpretar fórmula.
Unidad: 2
Relaciones proporcionales
Proporcionalidad
Elaboración de tablas y gráficos correspondientes a situaciones de variación proporcional directa e inversa.
Caracterización de situaciones de proporcionalidad inversa y directa mediante un producto constante y un cociente constante, respectivamente.
Resolución de problemas geométricos de proporcionalidad (producir figuras semejantes).
Realización e interpretación de planos de tipo esquemáticos a escala.
Cálculo de porcentajes y elaboración y análisis de tablas de aumentos y descuentos en un porcentaje dado, utilizando calculadora
Tratamiento de información
Análisis de tablas y gráficos estadísticos habitualmente utilizados en la prensa, en relación con relaciones proporcionales y porcentajes.
Lectura y análisis de encuestas de opinión en relación con proporciones y porcentajes.

Unidad: 3
Números positivos y negativos.
Ecuaciones. Números positivos y negativos. Interpretación del uso de signos en los números, en la vida diaria, en contextos ligados a: la línea cronológica (AC, DC), la medición de temperatura (bajo 0, sobre 0), la posición respecto del nivel del mar. Comparación de números enteros con apoyo en la recta numérica. Resolución de problemas que impliquen realizar adiciones y sustracciones de números positivos y negativos, con y sin apoyo en la recta numérica. Ecuaciones de primer grado.Noción de igualdad de expresiones algebraicas.Traducción de situaciones y problemas a ecuaciones con una incógnita.Uso de propiedades de los números y de las operaciones para encontrar soluciones.Creación de diversos problemas con sentido a partir de ecuaciones con una incógnita. Tratamiento de información. Análisis de tablas y gráficos estadísticos habitualmente utilizados en la prensa.

Unidad: 4
Potencias
Potencias de base natural y exponente entero.Potencias como multiplicación de factores iguales.Análisis y comparación de la representación gráfica (geométrica) de a2 y de a-2. Interpretación de a-2 y de a-3 como 1/a 2 y 1/a3 respectivamente
Análisis de situaciones de crecimiento y de de crecimiento exponencial.
Investigación de regularidades y propiedades de operaciones con potencias a partir de la resolución de problemas.
Sistema de numeración decimal
Asociación de una potencia de base 10 con exponente positivo o negativo a cada posición en el sistema de numeración.
Interpretación y expresión de resultados como sumas ponderadas de potencias de 10 en situaciones problema.
Números decimales y fracciones
Resolución de problemas en los que sea necesario y pertinente expresar como fracciones números decimales finitos e infinitos periódicos.
Uso de la calculadora para investigar y establecer patrones en familias de números decimales
Tratamiento de información
Análisis de tablas y gráficos estadísticos habitualmente utilizados en la prensa.
Lectura y análisis de resultados de encuestas de opinión.
Unidad: 5
Volumen
Estimación y cálculo del volumen de cuerpos geométricos regulares expresándolos en unidades pertinentes.
Interpretación y uso de fórmulas para el cálculo del volumen de prismas rectos.
Construcciones de redes para armar cilindros y conos
Experimentación de procedimientos concretos para medir el volumen de conos y cilindros.
Interpretación y uso de fórmulas para el cálculo del volumen de cilindros, conos
Relaciones de equivalencia entre unidades de volumen de uso corriente.
Uso de ecuaciones para resolver problemas e interpretar fórmulas
Uso de aproximaciones convenientes de números decimales infinitos

miércoles, 2 de noviembre de 2011

Polinomio de Taylor

 

El Teorema de Taylor fue enunciado por Brook Taylor en 1712, y permite aproximar una función en un entorno de un punto donde la función sea diferenciable por aproximaciones polinómicas.
Si n ≥ 0 es un entero y f una función que es derivable n veces en el intervalo cerrado [a,x] y n+1 veces en el intervalo abierto (a,x), entonces se cumple que:
f\left( x \right) = \sum\limits_{k = 0}^n {\frac{{f^{\left( k \right)} (a)}}{{k!}}} (x - a)^k  + R_n (f) Donde R_n (f) denota el resto de de aproximar f por el polinomio depende de x y es pequeño si x está próximo al punto a.
R_n (f) = \frac{{f^{\left( {n + 1} \right)} \left( \xi  \right)}}{{\left( {n + 1} \right)!}}\left( {x - a}\right)^{n + 1} y \xi es un número entre a y x.
En general si la (n+1) derivada de f está acotada por una constante M en el intervalo (a,b) que se menciona en el teorema de Taylor, es decir, si
\left| {f^{\left( {n + 1} \right)} \left( x \right)} \right| \leqslant M para todo x en (a,b)
entonces \left| {R_n (f)} \right| = \left| {\frac{{f^{\left( {n + 1} \right)}\left( \xi  \right)}}{{\left( {n + 1} \right)!}}\left( {x - a} \right)^{n + 1} } \right| \leqslant M \cdot \left|{\frac{{\left( {x - a} \right)^{n + 1} }}{{\left( {n + 1} \right)!}}} \right|
Cuando n crece indefinidamente entonces \left| {\frac{{\left( {x - a} \right)^{n + 1} }}{{(n + 1)!}}} \right| \to 0
Para algunas funciones se puede probar que el resto se aproxima a cero cuando n tiende a infinito. Dichas funciones pueden ser expresadas como series de Taylor en un entorno reducido alrededor del punto a y se llaman funciones analíticas.
En el caso a=0 tenemos f\left( x \right) = \sum\limits_{k = 0}^n {\frac{{f^{\left( k \right)} (0)}}{{k!}}} x ^k  + R_n (f) y a esta expresión la llamamos fórmula de Mac Laurin.
Veamos dos ejercicios:
Encontrar la fórmula de Mac Laurin para la función f(x) = senx
f(x) = Senx \Rightarrow f(0) = Sen0 = 0
f'(x) = Cosx \Rightarrow f'(0) = Cos0 = 1
f''(x) = -Senx \Rightarrow f''(0) = -Sen0 = 0

En general observamos que las derivadas de orden par, evaluados en cero se anulan y las impares valen alternadamente 1 y -1.
Senx = \sum\limits_{k = 1}^n {\left( { - 1} \right)^{k + 1} \frac{{x^{2k - 1} }}{{\left( {2k - 1} \right)!}}}+ R_{2n - 1} (f)
Encuentre un valor aproximado para \sqrt e utilizando un polinomio de Taylor de grado 3 y estime el error.

Observamos que \sqrt e  = e^{0,5} , es decir se nos pide evaluar a la función exponencial en 0.5, el cual es un valor cercano a a = 0, punto en que conocemos a la función exponencial y a sus derivadas.
Así pues encontremos la fórmula de Taylor para f(x) = e^x en a = 0 y posteriormente evaluaremos en x = 0,5
Como la función exponencial y todas sus derivadas son iguales a 1 evaluadas en 0 tenemos e^x  = 1 +x + \frac{{x^2 }}{{2!}} + \frac{{x^3 }}{{3!}} + R_3 (f)

Evaluada la función en 0,5 tenemos e^{0,5}  = 1,64583333 + R_3 (f)
R_3 (f) = \frac{{f^4 \left( \xi  \right)}}{{4!}}\left( {0,5} \right)^4
Como f^4 (x) = e^x \,\,\left| {e^x } \right| < 3\,\,\forall x \in \left[ {0,1} \right] entonces \left| {R_3 (f)} \right| \leqslant 3 \cdot \left| {\frac{{0,5^4 }}{{4!}}} \right| = 0,0078125

Operaciones con números complejos

numeros complejos:

Vamos a hacer un ejercicio de números complejos muy completo para alumnos de Bachillerato y también para que alumnos de otros niveles más avanzados recuerden algunos procesos.
Calcular:
\sqrt[3]{{\left( {\frac{{1 + \sqrt 3 i}}{{1 - i}}} \right)^2 }} Si z={\frac{{1 + \sqrt 3 i}}{{1 - i}}} =>  \frac{{1 + \sqrt 3 i}}{{1 - i}} \cdot \frac{{1 + i}}{{1 + i}} = \frac{{1 + i + \sqrt 3 i + \sqrt 3 i^2 }}{{1 - i^2 }} = \frac{{1 - \sqrt 3 }}{2} + \frac{{1 + \sqrt 3 }}{2}i
Pasamos a forma polar:
Módulo: \left| z \right| = \sqrt {\left( {\frac{{1 - \sqrt 3 }}{2}} \right)^2  + \left( {\frac{{1 + \sqrt 3 }}{2}} \right)^2 }  = 1
Argumento: \theta = arctg\frac{{\frac{{1 + \sqrt 3 }}{2}}}{{\frac{{1 - \sqrt 3 }}{2}}} = 75
De forma que tenemos \sqrt[3]{{\left( {1_{75} } \right)^2 }} = \sqrt[3]{{1^2 _{75 \cdot 2} }} = \sqrt[3]{{1_{150} }} = \left\{ \begin{array}{l}\sqrt[3]{1}_{\frac{{150 + 0 \cdot 360}}{3}}  = 1_{50}  \\ \sqrt[3]{1}_{\frac{{150 + 1 \cdot 360}}{3}}  = 1_{170}  \\ \sqrt[3]{1}_{\frac{{150 + 2 \cdot 360}}{3}} = 1_{290}  \\ \end{array} \right.
Si queremos podemos volver a pasar las soluciones a forma binómica mediante la fórmula z_\theta   = \left| z \right|\cos \theta  + \left| z \right|sen\theta i

Hola a todos. Lo prometido es deuda!! Estoy aquí, de nuevo, para daros algunos ejemplos de aplicación del método que os dí en mi primer artículo. En efecto,  veréis que, en muchos casos, el cálculo de resíduos correspondientes a polos de orden mayores a la unidad se vuelve muy engorroso mediante la fórmula (1) general que podeis encontrar en mi primer artículo. Empecemos pues.
Sea la integral impropia:
\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\displaystyle\frac{\cos{mx}}{(x^2+a^2)^2}\,dx\quad con\quad a,m>0
Para resolverla gracias al teorema de los resíduos, extendemos la función integrando al plano complejo, definiendo así:
h(z)=\displaystyle\frac{{\rm e}^{imz}}{(z^2+a^2)^2}\quad con\quad a,m\in\mathbb{R}^+
En este artículo, mi intención no es la de resolver esta integral (quien tenga dudas de cómo se hace o simplemente quiera saberlo, no dudeis en preguntar) sino que quería contextualizar el cálculo que sigue. Efectivamente, el teorema de los resíduos nos lleva a calcular el resíduo de h en el polo z_0=ia. Esto es:
\boxed{Res(h(z),z_0)}
Ante todo, es fácil ver que z_0=ia es un polo doble (de orden 2) de h. Veamos cómo sería la resolución de este problema con la fórmula general. En primer lugar, tendremos que calcular la deriada de (z-z_0)h(z)=\displaystyle\frac{{\rm e}^{imz}}{(z+ia)^2} que, de por sí, lleva algo de cálculo en el cual hay que estar atento para no equivocarse:
\displaystyle\frac{d}{dz}\{(z-z_0)h(z)\}=\displaystyle\frac{im{\rm e}^{imz}(z+ia)^2-2(z+ia){\rm e}^{imz}}{(z+ia)^4}
\displaystyle\frac{d}{dz}\{(z-z_0)h(z)\}={\rm e}^{imz}\displaystyle\frac{im(z+ia)^2-2(z+ia)}{(z+ia)^4}
\displaystyle\frac{d}{dz}\{(z-z_0)h(z)\}=\displaystyle\frac{{\rm e}^{imz}}{(z+ia)^3}(im(z+ia)-2)
\boxed{\displaystyle\frac{d}{dz}\{(z-z_0)h(z)\}=\displaystyle\frac{{\rm e}^{imz}}{(z+ia)^3}(imz-ma-2)}
Ahora, ya que en este caso 1/(n-1)!=1, falta coger el límite z\to z_0:
\displaystyle\lim_{z\to ia}\displaystyle\frac{{\rm e}^{imz}}{(z+ia)^3}(imz-ma-2)=\displaystyle\frac{{\rm e}^{-ma}}{(2ia)^3}(-ma-ma-2)
\displaystyle\lim_{z\to ia}\displaystyle\frac{{\rm e}^{imz}}{(z+ia)^3}(imz-ma-2)=\displaystyle\frac{{\rm e}^{-ma}}{-8ia^3}(-2ma-2)
\displaystyle\lim_{z\to ia}\displaystyle\frac{{\rm e}^{imz}}{(z+ia)^3}(imz-ma-2)=\displaystyle\frac{{\rm e}^{-ma}}{4ia^3}(ma+1)
\Longrightarrow\boxed{Res(h,ia)=\displaystyle\frac{{\rm e}^{-ma}}{4ia^3}(ma+1)}
Podeis ver que este cálculo no es ni muy largo ni muy difícil (luego pondré algunos más complicados) pero el método que os propuse en mi artículo es mucho más rápido y eficaz. Para entender lo que sigue, supongo que no será necesario deciros que teneis que haber entendido el planteamiento de mi post anterior. Usaré exactamente las misma notaciones. En este caso, tenemos que:
f(z)={\rm e}^{imz}
g_r(z)=(z+ia)^2
EL primer paso es el de desarrollar estas dos funciones analíticas en un disco centrado en z_0=ia en serie de potencias. Además, sabemos que, del resultado de la división según las potencias crecientes de estas dos funciones, sólo necestiremos el coeficiente del termino en \xi^{n-1}=\xi (ya que n=2 es el orden del polo), así que no necesitamos muchos términos de los desarrollos  (obviamente pondremos todos los de g_r por ser un polinomio de desarrollo finito):
f(z)={\rm e}^{imz}={\rm e}^{-ma}(1+im\xi+\cdots)
g_r(z)=(z+ia)^2=-4a^2+4ia\xi+\xi^2
Finalmente, procedemos a la división según potencias crecientes (que no es más que una división euclídea de polinomios con dichos polinomios ordenados de potencias menores a mayores) parándonos en el coeficiente del término en \xi (sólo tenemos que hacer 2 pasos de la división!!!!) obteniendo:
1+im\xi+\cdots\,:\,-4a^2+4ia\xi+\xi^2=\displaystyle\frac{1}{4a^2}-\displaystyle\frac{i}{4a^3}(ma+1)\xi
De donde, multiplicando por el factor {\rm e}^{-ma} que nos hemos dejado para hacer la división, obtenemos el resultado deseado:
\boxed{Res(h,ia)=\displaystyle\frac{{\rm e}^{-ma}}{4ia^3}(ma+1)}
Por lo tanto, hay bastante menos cálculo con éste método que con la fórmula general. Además, cuando tengáis práctica, lo que acabo de hacer se vuelve muy fácil.
Mañana os pondré más ejemplos. Que os vaya bien.
Alex.
P.D: No dudéis en pedir que exponga un ejemplo en particular.

Cálculo de resíduos (difíciles)


Hola.  Recuerdo que, cuando estudié análisis de la variable compleja, enunciamos un teorema fantástico y poderoso: El teorema de los resíduos.  Me parecía increible que el valor de una integral, a lo largo de un camino cerrado homotópico a un punto, sólo dependiera de las contribuciones de las singularidades del integrando (los resíduos) abarcadas por el camino. No obstante, así es y así se demuestra. No entraré en el detalle de la demostración de este teorema (hay mucha información en la web) ni en sus diversas aplicaciones. Lo que me interesa desarrollar a continuación es un método de cálculo de los resíduos de una función en un caso concreto de singularidades. En efecto,  dichas singularidades pueden ser aísladas o no (la singularidad de una función no es necesariamente un punto pero puede ser un segmento lo que no impide tener un resíduo), y en el caso de que sean aisladas pueden ser evitables, esenciales o ser polos. Nos centraremos, en todo lo que sigue, en las singularidades aisladas. Además, descartaremos las singularidades evitables ya que tienen resíduo nulo (el desarrollo en serie da Laurent no tiene potencias negativas). También, dejaremos de lado a las singularidades esenciales que precisan hallar explícitamente el desarrollo de Laurent para obtener el resíduo. Así pues, nos ceñiremos al estudio de los resíduos de funciones que presentan polos. Para ello, recordemos rigurosamente lo que es un polo y un resíduo:
  • Polo de orden n: Consideremos el desarrollo de Laurent de una función f en z_0:
 f(z)=\displaystyle\sum_{-\infty}^{+\infty}a_n(z-z_0)^n
z_0 es un polo de orden n \in\mathbb{N} de f si los coeficientes del desarrollo de Laurent cumplen que:
a_{-n}\neq 0   y   a_k=0   si   k<-n
Es decir que el desarrollo de Laurent tiene potencias negativas en un número finito (sino la singularidad sería esencial) y el orden del polo viene dado por el mínimo entero n tal que a_{-n}\neq 0.
  • Resíduo de f en una singularidad aislada: En el desarrollo de Laurent que hemos considerado, llamamos al coeficiente a_{-1} el resíduo de f en z_0
Ahora bien, consideremos una función compleja de la forma:
h(z)=\displaystyle\frac{f(z)}{g(z)}
con f y g analíticas. El conjunto de singularidades S de h es, por lo tanto, el conjunto de los ceros de g. Esto es:
S=\{z\in\mathbb{C}|g(z)=0\}
S es por lo tanto un conjunto de puntos aislados y son los polos de la función h. Para este tipo de singularidades, existe una fórmula con la cual podemos siempre calcular los resíduos:
\boxed{Res(h,z_0)=\displaystyle\lim_{z\to z_0}\displaystyle\frac{1}{(n-1)!}\displaystyle\frac{d^{n-1}}{dz^{n-1}} \{(z-z_0)^nh(z)\}}          (1)
donde n es el orden del polo. Veamos, pues, cual es la mejor opción para calcular resíduos según el orden del polo considerado
  • Polo simple (n=1) Cuando n=1 (polo simple), esta fórmula suele ser útil porqué es simple. En efecto, se tiene que:
Res(f,z_o)=\displaystyle\lim_{z\to z_0}(z-z_0)h(z)
Además, en nuestro caso particular  h(z)=\displaystyle\frac{f(z)}{g(z)} tenemos que:
Res(f,z_o)=\displaystyle\lim_{z\to z_0}(z-z_0)h(z)=\displaystyle\lim_{z\to z_0}\displaystyle\frac{f(z)}{\frac{g(z)}{z-z_0}}
Pero, nos fijamos en que g(z_0)=0 y \displaystyle\lim_{z\to z_0}\displaystyle\frac{g(z)-g(z_0)}{z-z_0}=g'(z_0) para obtener que:
\boxed{Res(f,z_o)=\displaystyle\frac{f(z_0)}{g'(z_0)}}
  • Polos de orden superior a uno: En este caso, la fórmula (1) no es, en general, muy útil. En efecto, en primer lugar se tendría que encontrar la derivada (no trivial en general)
\displaystyle\frac{d^{n-1}}{dz^{n-1}} \{(z-z_0)^nh(z)\}


que da una indeterminación, y luego calcular el límite (Hôpital, desarrollos limitados…). Parece pues que ésta no es la manera más inteligente de calcular el resíduo. Creo, en mi opinión, que, en la mayoría de los textos, es un error pedagógico colocar esta fórmula como “remedio milagro” para la búsqueda de resíduos correspondientes a polos. En efecto, el estudiante la memoriza (o la anota en su formulario) pensando que le servirá siempre (por ser completamente general) y se olvida entender realmente  la esencia de lo que esta haciendo. Luego, si en el exámen le sale un polo de orden 4, por ejemplo, se encuentra con unos cálculos tediosos para los cuales no está preparado y, por ende, pierde un tiempo valioso con muchas probabilidades de equivocarse o rendirse delante la complejidad. Por ello, la esencia de mi artículo toma todo su sentido en este preciso instante. Intentaré proporcionaros un método fiable, rápido e intutivo de como encontrar los resíduos de una función en polos de orden mayores a la unidad.
La verdad es que, a los que teneis que usar el teorema de los resíduos, os recomiendo encarecidamente que cojais lapiz y papel y os apuntéis lo que sigue (no es complicado pero no basta con leerlo). No os preocupéis si, al principio, os cuesta un poco entenderlo. No deja de ser un método así que requiere un poco de práctica. Además, el tiempo que invertáis  en practicar estará, de sobra, compensado por la rápidez con la cual seréis capaces de hallar los resíduos de un función que presenta polos (que, en general, son la mayoría en las clases de variable compleja). Ánimo y a estudiar jejeje.
Nuestro propósito es el de calcular Res(h,z_0) siendo z_0 un polo de orden n de h. Entonces, esto quiere decir que z_0 es un cero de orden (multiplicidad) n de g. Al ser, g analítica, le corresponde un desarrollo en serie como sigue:
g(z)=\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}a_k(z-z_0)^k


Pero todos los términos hasta el rango n son nulos, por lo que podemos escribir que:


\boxed{g(z)=\displaystyle\sum_{k=n}^{\infty}a_k(z-z_0)^k=(z-z_0)^n\underbrace{\{a_n+a_{n+1}(z-z_0)+a_{n+2}(z-z_0)^2+\cdots\}}_{g_r(z)}}


con a_n\neq 0 (sino z_0 sería un cero de orden n+1 de g) y donde hemos introducido g_r que llamaremos función reducida de g. Esta función reducida de g es analítica en un disco centrado en z_0 y no se anula en dicho punto, por lo que podemos definir la función reducida de h como:

h_r(z)=\displaystyle\frac{f(z)}{g_r(z)}

Está claro, pues, que h_r es analítica en el disco de analiticidad de g_r centrado en z_0.  ¿Porqué hemos intoducido estas funciones reducidas? Pues porqué, ahora, podemos hallar la serie de Laurent de h obteniendo la serie entera (de Taylor con potencias positivas exclusivamente) de h_r, y,como consecuencia, podremos hallar el resíduo que buscamos, que corresponde al coeficiente del término en (z-z_0)^{-1} de la serie de Laurent de h, a partir del desarrollo en serie de h_r. Y ¿a qué coeficientes de dicha serie corresponde el resíduo? Pues al término en (z-z_0)^{n-1} del desarrollo de  h_r. En efecto, tenemos que:

\boxed{h(z)=\displaystyle\frac{f(z)}{(z-z_0)^n g_r (z)}=\displaystyle\frac{h_r(z)}{(z-z_0)^n}}


Finalmente, bastará con hallar el desarrollo en serie entera de h_r hasta el orden n-1 para hallar Res(h,z_0).
Ahora, nos podemos fijar en que, a partir de este resultado, volvemos a encontrar la fórmula (1). En efecto, el coeficiente del desarrollo de Taylor de h_r correspondiente a la potencia n-1-ésima es, por definición:

\displaystyle\frac{1}{(n-1)!}\displaystyle\frac{d^{n-1}}{dz^{n-1}}\{h_r(z_0)\}


Pero, h_r(z)=(z-z_0)^nh(z). Entonces, este coeficiente (que es el resíduo) se puede encontrar mediante el límite de la fórmula (1). No obstante, a la práctica, será mucho más rápido y eficiente hallar el desarrollo en serie de Taylor de h_r en z_0 mediante la división de potencias crecientes de la serie de f respecto de g_r. Esto es, tenemos los siguientes desarrollos en serie:

f(z)=b_0+b_1\xi+b_2\xi^2+\cdots\\g_r(z)=a_n+a_{n+1}\xi+a_{n+2}\xi^2+\cdots


donde loa_k son los coeficientes del desarrollo de g y donde hemos hecho \xi=z-z_0. s Planteamos la división en potencias crecientes:


b_0+b_1\xi+b_2\xi^2+\cdots\quad |\underline{ a_n+a_{n+1}\xi+a_{n+2}\xi^2+\cdots}\Longrightarrow\displaystyle\frac{b_0}{a_n}+\cdots


Cuando lleguemos a la potencia n-1, tendremos el resíduo deseado. El proceso de la división en potencias crecientes parece ser engorroso, no obstante, a la práctica, lo es muchísimo menos que el cálculo de la derivada y del límite planteado en la fórmula (1) .
Espero que os sirva. En los días próximos, incluiré en este post algunos ejemplos de la potencia de este método frente a la fórmula general.
que les valla bien compañeros¡¡¡¡¡¡¡