Fórmula de Pick y soluciones

Polígonos en trama cuadrada

Triángulos con vértices en puntos de la trama cuadrangular

A. 

HAY UNA CANTIDAD  INGENTE DE TRIÁNGULOS DE ÁREA 1/2

El área  de un triángulo es A = Base · altura / 2

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Triángulos área 1

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Triángulos área 2

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Cuadrados con vértices en puntos de la trama   

Serie creciente de los primeros cuadrados en trama cuadrangular.

Áreas  de menor a mayor: 1, 2, 4, 8 y 9.

Nota: El cuadrado siguiente al de área 1 no es de área 4 . Es de área 2.

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A.e.- 9 polígonos convexos sin puntos interiores

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Polígonos cóncavos sin puntos interiores

¿Será posible calcular una fórmula del área en función de los puntos del borde o frontera ?

Veamos la compatibilidad con una función lineal del tipo

A = a · x + b

siendo x = número de puntos del borde

A = área del polígono

De la misma forma se puede calcular con otros polígonos sin puntos interiores.

También se  escribe  A = 1/2 · b  - 1

siendo b = número de puntos en el borde en polígonos sin puntos interiores.

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Veamos la compatibilidad de varias ecuaciones aplicando el teorema de Rouché-Frobenius.

Si rango(A) = rango(A+) = n(número de incógnitas), entonces el sistema es compatible determinado.

Puede elegir otras ecuaciones. Es posible calcular la función lineal en función de los puntos del borde o frontera.

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A.f.- Polígonos con un punto interior

Veamos la compatibilidad con una función lineal del tipo A(x, y) = a · x + b · y + c, siendo x = número de puntos del borde, y = número de puntos en el interior, A = área del polígono.

Del cuadrado de lados color granate , se obtiene la ecuación

 4 · a + b + c = 2    (1)

Del cuadrado de lados color azul claro,se obtiene 

8 · a + b + c = 4     (2) 

Del triángulo de lados color azul, se obtiene la ecuación

6 · a + b + c = 3     (3)

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Resuelto, a = 1/2,  b = - c,    

        S. C. I.

 Por tanto, A = 1/2 · x + b - b = 1/2 · x

A = 1/2 · x, siendo x el número de puntos en el borde del polígono.

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A.g.- Polígonos con dos puntos interiores

Veamos la compatibilidad con una función lineal del tipo A(x, y) = a · x + b · y + c, siendo x = número de puntos del borde, y = número de puntos en el interior, A = área del polígono.

Planteadas las ecuaciones y resuelto, es S. C. I. (a, b, c) = (1/2, (1-c)/2, c).  

Área de polígono con dos puntos interiores es en general: A = 1/2 · x + 1 

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Área de cualquier polígono con diferente número de puntos en el interior y frontera

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Se eligen tres polígonos con tres ecuaciones que formen un S.C.D.

RESOLVEMOS EL SISTEMA  DE ECUACIONES

Resuelto el sistema, (a, b, c) = ( 1/2, 1, -1)

En general, para todos los polígonos con vértices en puntos de la trama cuadrada, se obtiene la misma fórmula. Es frecuente ver la fórmula con otras letras, b = número de puntos del polígono en el borde, i = número de puntos del polígono en el interior

Área  = 1/2 · b + i -1